/ NeXT Education Software Sampler 1992 Fall / NeXT Education Software Sampler 1992 Fall.iso / Mathematics / Notebooks / CSOMinesCalculus / Chapter1 / ws4.tex / ws4_ct.html

< prev

next >

MacOS 8.1

Win98

DOS

browse contents

view JSON data

view as text

+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+
|00000000| 3c 21 44 4f 43 54 59 50 | 45 20 48 54 4d 4c 20 50 |<!DOCTYP|E HTML P|
|00000010| 55 42 4c 49 43 20 22 2d | 2f 2f 57 33 43 2f 2f 44 |UBLIC "-|//W3C//D|
|00000020| 54 44 20 48 54 4d 4c 20 | 33 2e 32 20 46 69 6e 61 |TD HTML |3.2 Fina|
|00000030| 6c 2f 2f 65 6e 22 3e 0a | 0a 3c 21 2d 2d 43 6f 6e |l//en">.|.<!--Con|
|00000040| 76 65 72 74 65 64 20 77 | 69 74 68 20 4c 61 54 65 |verted w|ith LaTe|
|00000050| 58 32 48 54 4d 4c 20 32 | 30 32 32 20 28 52 65 6c |X2HTML 2|022 (Rel|
|00000060| 65 61 73 65 64 20 4a 61 | 6e 75 61 72 79 20 31 2c |eased Ja|nuary 1,|
|00000070| 20 32 30 32 32 29 20 2d | 2d 3e 0a 3c 48 54 4d 4c | 2022) -|->.<HTML|
|00000080| 20 6c 61 6e 67 3d 22 65 | 6e 22 3e 0a 3c 48 45 41 | lang="e|n">.<HEA|
|00000090| 44 3e 0a 3c 54 49 54 4c | 45 3e 43 6f 6e 74 65 6e |D>.<TITL|E>Conten|
|000000a0| 74 73 20 6f 66 20 77 73 | 34 3c 2f 54 49 54 4c 45 |ts of ws|4</TITLE|
|000000b0| 3e 0a 0a 3c 4d 45 54 41 | 20 48 54 54 50 2d 45 51 |>..<META| HTTP-EQ|
|000000c0| 55 49 56 3d 22 43 6f 6e | 74 65 6e 74 2d 54 79 70 |UIV="Con|tent-Typ|
|000000d0| 65 22 20 43 4f 4e 54 45 | 4e 54 3d 22 74 65 78 74 |e" CONTE|NT="text|
|000000e0| 2f 68 74 6d 6c 3b 20 63 | 68 61 72 73 65 74 3d 75 |/html; c|harset=u|
|000000f0| 74 66 2d 38 22 3e 0a 3c | 4d 45 54 41 20 4e 41 4d |tf-8">.<|META NAM|
|00000100| 45 3d 22 76 69 65 77 70 | 6f 72 74 22 20 43 4f 4e |E="viewp|ort" CON|
|00000110| 54 45 4e 54 3d 22 77 69 | 64 74 68 3d 64 65 76 69 |TENT="wi|dth=devi|
|00000120| 63 65 2d 77 69 64 74 68 | 2c 20 69 6e 69 74 69 61 |ce-width|, initia|
|00000130| 6c 2d 73 63 61 6c 65 3d | 31 2e 30 22 3e 0a 3c 4d |l-scale=|1.0">.<M|
|00000140| 45 54 41 20 4e 41 4d 45 | 3d 22 47 65 6e 65 72 61 |ETA NAME|="Genera|
|00000150| 74 6f 72 22 20 43 4f 4e | 54 45 4e 54 3d 22 4c 61 |tor" CON|TENT="La|
|00000160| 54 65 58 32 48 54 4d 4c | 20 76 32 30 32 32 22 3e |TeX2HTML| v2022">|
|00000170| 0a 0a 3c 4c 49 4e 4b 20 | 52 45 4c 3d 22 53 54 59 |..<LINK |REL="STY|
|00000180| 4c 45 53 48 45 45 54 22 | 20 48 52 45 46 3d 22 77 |LESHEET"| HREF="w|
|00000190| 73 34 2e 63 73 73 22 3e | 0a 0a 3c 2f 48 45 41 44 |s4.css">|..</HEAD|
|000001a0| 3e 0a 20 0a 3c 42 4f 44 | 59 20 62 67 63 6f 6c 6f |>. .<BOD|Y bgcolo|
|000001b0| 72 3d 22 23 66 66 66 66 | 66 66 22 20 74 65 78 74 |r="#ffff|ff" text|
|000001c0| 3d 22 23 30 30 30 30 30 | 30 22 20 6c 69 6e 6b 3d |="#00000|0" link=|
|000001d0| 22 23 39 39 34 34 45 45 | 22 20 76 6c 69 6e 6b 3d |"#9944EE|" vlink=|
|000001e0| 22 23 30 30 30 30 66 66 | 22 20 61 6c 69 6e 6b 3d |"#0000ff|" alink=|
|000001f0| 22 23 30 30 66 66 30 30 | 22 3e 0a 0a 3c 50 3e 0a |"#00ff00|">..<P>.|
|00000200| 43 68 61 70 74 65 72 20 | 31 3a 20 57 6f 72 6b 73 |Chapter |1: Works|
|00000210| 68 65 65 74 20 34 20 20 | 4a 61 63 6b 20 4b 2e 20 |heet 4  |Jack K. |
|00000220| 43 6f 68 65 6e 20 43 6f | 6c 6f 72 61 64 6f 20 53 |Cohen Co|lorado S|
|00000230| 63 68 6f 6f 6c 20 6f 66 | 20 4d 69 6e 65 73 0a 0a |chool of| Mines..|
|00000240| 3c 50 3e 0a 3c 42 52 3e | 0a 3c 42 52 3e 0a 3c 42 |<P>.<BR>|.<BR>.<B|
|00000250| 52 3e 0a 52 65 74 75 72 | 6e 20 6f 66 20 74 68 65 |R>.Retur|n of the|
|00000260| 20 41 73 74 65 72 6f 69 | 64 20 50 72 6f 62 6c 65 | Asteroi|d Proble|
|00000270| 6d 2c 20 4c 69 6e 65 73 | 2c 20 4c 69 6e 65 73 2c |m, Lines|, Lines,|
|00000280| 20 4c 69 6e 65 73 0a 3c | 42 52 3e 0a 3c 42 52 3e | Lines.<|BR>.<BR>|
|00000290| 0a 3c 42 52 3e 0a 0a 3c | 50 3e 0a 53 75 67 67 65 |.<BR>..<|P>.Sugge|
|000002a0| 73 74 65 64 20 50 72 6f | 62 6c 65 6d 73 0a 53 65 |sted Pro|blems.Se|
|000002b0| 63 74 69 6f 6e 20 31 2e | 32 3a 20 31 31 2c 20 31 |ction 1.|2: 11, 1|
|000002c0| 35 2c 20 31 37 2c 20 32 | 31 0a 0a 3c 50 3e 0a 0a |5, 17, 2|1..<P>..|
|000002d0| 3c 4f 4c 3e 0a 3c 4c 49 | 3e 20 20 28 41 73 74 65 |<OL>.<LI|>  (Aste|
|000002e0| 72 6f 69 64 20 70 72 6f | 62 6c 65 6d 20 63 6f 6e |roid pro|blem con|
|000002f0| 74 69 6e 75 65 64 29 20 | 52 65 63 61 6c 6c 20 74 |tinued) |Recall t|
|00000300| 68 61 74 20 79 6f 75 20 | 6c 61 6e 64 65 64 20 6f |hat you |landed o|
|00000310| 6e 20 61 20 73 70 68 65 | 72 69 63 61 6c 20 61 73 |n a sphe|rical as|
|00000320| 74 65 72 6f 69 64 2e 20 | 59 6f 75 72 20 70 61 72 |teroid. |Your par|
|00000330| 74 6e 65 72 20 77 61 6c | 6b 65 64 20 31 30 30 30 |tner wal|ked 1000|
|00000340| 20 66 65 65 74 20 61 77 | 61 79 20 61 6c 6f 6e 67 | feet aw|ay along|
|00000350| 20 74 68 65 20 73 6d 6f | 6f 74 68 20 73 75 72 66 | the smo|oth surf|
|00000360| 61 63 65 20 63 61 72 72 | 79 69 6e 67 20 61 20 31 |ace carr|ying a 1|
|00000370| 30 20 66 65 65 74 20 72 | 6f 64 2c 20 61 6e 64 20 |0 feet r|od, and |
|00000380| 74 68 65 72 65 62 79 20 | 76 61 6e 69 73 68 65 64 |thereby |vanished|
|00000390| 20 6f 76 65 72 20 74 68 | 65 20 68 6f 72 69 7a 6f | over th|e horizo|
|000003a0| 6e 2e 20 20 57 68 65 6e | 20 73 68 65 20 70 6c 61 |n.  When| she pla|
|000003b0| 63 65 64 20 6f 6e 65 20 | 65 6e 64 20 6f 6e 20 74 |ced one |end on t|
|000003c0| 68 65 20 67 72 6f 75 6e | 64 20 61 6e 64 20 68 65 |he groun|d and he|
|000003d0| 6c 64 20 20 74 68 65 20 | 72 6f 64 20 73 74 72 61 |ld  the |rod stra|
|000003e0| 69 67 68 74 20 75 70 20 | 61 6e 64 20 64 6f 77 6e |ight up |and down|
|000003f0| 2c 20 79 6f 75 20 28 6c | 79 69 6e 67 20 6f 6e 20 |, you (l|ying on |
|00000400| 79 6f 75 72 20 73 74 6f | 6d 61 63 68 20 74 6f 20 |your sto|mach to |
|00000410| 72 65 73 74 20 66 72 6f | 6d 20 74 68 65 20 61 72 |rest fro|m the ar|
|00000420| 64 75 6f 75 73 20 6a 6f | 75 72 6e 65 79 20 66 72 |duous jo|urney fr|
|00000430| 6f 6d 20 45 61 72 74 68 | 29 20 63 6f 75 6c 64 20 |om Earth|) could |
|00000440| 6a 75 73 74 20 62 61 72 | 65 6c 79 20 73 65 65 20 |just bar|ely see |
|00000450| 74 68 65 20 74 69 70 20 | 6f 66 20 74 68 65 20 72 |the tip |of the r|
|00000460| 6f 64 2e 20 20 20 20 59 | 6f 75 20 6e 6f 77 20 6b |od.    Y|ou now k|
|00000470| 6e 6f 77 20 74 68 61 74 | 20 74 68 65 20 63 6f 72 |now that| the cor|
|00000480| 72 65 63 74 20 65 71 75 | 61 74 69 6f 6e 20 66 6f |rect equ|ation fo|
|00000490| 72 20 3c 49 3e 72 3c 2f | 49 3e 20 69 73 20 3c 21 |r <I>r</|I> is <!|
|000004a0| 2d 2d 20 4d 41 54 48 0a | 20 24 5c 63 6f 73 20 28 |-- MATH.| $\cos (|
|000004b0| 73 2f 72 29 20 3d 20 72 | 2f 28 72 20 2b 20 68 29 |s/r) = r|/(r + h)|
|000004c0| 24 0a 20 2d 2d 3e 0a 63 | 6f 73 28 3c 49 3e 73 3c |$. -->.c|os(<I>s<|
|000004d0| 2f 49 3e 2f 3c 49 3e 72 | 3c 2f 49 3e 29 20 3d 20 |/I>/<I>r|</I>) = |
|000004e0| 3c 49 3e 72 3c 2f 49 3e | 2f 28 3c 49 3e 72 3c 2f |<I>r</I>|/(<I>r</|
|000004f0| 49 3e 20 2b 20 3c 49 3e | 68 3c 2f 49 3e 29 2c 20 |I> + <I>|h</I>), |
|00000500| 6f 72 20 69 6e 20 6e 75 | 6d 65 72 69 63 61 6c 20 |or in nu|merical |
|00000510| 66 6f 72 6d 3a 20 20 3c | 21 2d 2d 20 4d 41 54 48 |form:  <|!-- MATH|
|00000520| 0a 20 24 5c 63 6f 73 28 | 31 30 30 30 2f 72 29 20 |. $\cos(|1000/r) |
|00000530| 3d 20 72 2f 28 72 20 2b | 20 32 30 29 24 0a 20 2d |= r/(r +| 20)$. -|
|00000540| 2d 3e 0a 63 6f 73 28 31 | 30 30 30 2f 3c 49 3e 72 |->.cos(1|000/<I>r|
|00000550| 3c 2f 49 3e 29 20 3d 20 | 3c 49 3e 72 3c 2f 49 3e |</I>) = |<I>r</I>|
|00000560| 2f 28 3c 49 3e 72 3c 2f | 49 3e 20 2b 20 32 30 29 |/(<I>r</|I> + 20)|
|00000570| 2e 20 20 55 73 69 6e 67 | 20 50 6c 6f 74 20 61 6e |.  Using| Plot an|
|00000580| 64 2f 6f 72 20 54 61 62 | 6c 65 2c 20 66 69 6e 64 |d/or Tab|le, find|
|00000590| 20 74 68 65 20 70 68 79 | 73 69 63 61 6c 6c 79 20 | the phy|sically |
|000005a0| 73 65 6e 73 69 62 6c 65 | 20 73 6f 6c 75 74 69 6f |sensible| solutio|
|000005b0| 6e 20 74 6f 20 74 77 6f | 20 64 65 63 69 6d 61 6c |n to two| decimal|
|000005c0| 20 70 6c 61 63 65 73 2e | 0a 0a 3c 50 3e 0a 43 6f | places.|..<P>.Co|
|000005d0| 6d 6d 65 6e 74 3a 20 20 | 48 6f 77 20 6d 75 63 68 |mment:  |How much|
|000005e0| 20 77 6f 75 6c 64 20 79 | 6f 75 20 63 6f 6e 74 72 | would y|ou contr|
|000005f0| 69 62 75 74 65 20 74 6f | 20 74 68 65 20 49 6e 64 |ibute to| the Ind|
|00000600| 69 67 65 6e 74 20 4d 61 | 74 68 20 50 72 6f 66 65 |igent Ma|th Profe|
|00000610| 73 73 6f 72 27 73 20 53 | 75 70 70 6f 72 74 20 46 |ssor's S|upport F|
|00000620| 75 6e 64 20 66 6f 72 20 | 61 6e 20 65 61 73 69 6c |und for |an easil|
|00000630| 79 20 64 65 72 69 76 65 | 64 20 65 73 74 69 6d 61 |y derive|d estima|
|00000640| 74 65 20 6f 66 20 74 68 | 65 20 73 6f 6c 75 74 69 |te of th|e soluti|
|00000650| 6f 6e 20 74 6f 20 77 69 | 74 68 69 6e 20 31 20 66 |on to wi|thin 1 f|
|00000660| 6f 6f 74 3f 20 20 41 63 | 74 75 61 6c 6c 79 2c 20 |oot?  Ac|tually, |
|00000670| 74 68 69 73 20 66 65 65 | 20 69 73 20 63 6f 76 65 |this fee| is cove|
|00000680| 72 65 64 20 69 6e 20 79 | 6f 75 72 20 74 75 69 74 |red in y|our tuit|
|00000690| 69 6f 6e 20 66 6f 72 20 | 74 68 69 73 20 63 6f 75 |ion for |this cou|
|000006a0| 72 73 65 26 6d 64 61 73 | 68 3b 73 74 61 79 20 74 |rse&mdas|h;stay t|
|000006b0| 75 6e 65 64 2e 20 20 57 | 69 74 68 6f 75 74 20 71 |uned.  W|ithout q|
|000006c0| 75 65 73 74 69 6f 6e 69 | 6e 67 20 74 68 61 74 20 |uestioni|ng that |
|000006d0| 50 6c 6f 74 20 61 6e 64 | 20 54 61 62 6c 65 20 61 |Plot and| Table a|
|000006e0| 72 65 20 77 6f 6e 64 65 | 72 66 75 6c 20 74 6f 6f |re wonde|rful too|
|000006f0| 6c 73 2c 20 79 6f 75 72 | 20 65 78 70 65 72 69 65 |ls, your| experie|
|00000700| 6e 63 65 20 77 69 74 68 | 20 74 68 65 20 63 75 72 |nce with| the cur|
|00000710| 72 65 6e 74 20 70 72 6f | 62 6c 65 6d 20 6d 61 79 |rent pro|blem may|
|00000720| 20 63 61 75 73 65 20 79 | 6f 75 20 74 6f 20 77 6f | cause y|ou to wo|
|00000730| 6e 64 65 72 20 69 66 20 | 74 68 65 72 65 20 61 72 |nder if |there ar|
|00000740| 65 6e 27 74 20 73 6f 6d | 65 20 62 65 74 74 65 72 |en't som|e better|
|00000750| 20 6d 65 74 68 6f 64 73 | 20 6f 66 20 73 6f 6c 76 | methods| of solv|
|00000760| 69 6e 67 20 65 71 75 61 | 74 69 6f 6e 73 2e 20 20 |ing equa|tions.  |
|00000770| 49 66 20 73 6f 2c 20 79 | 6f 75 20 77 69 6c 6c 20 |If so, y|ou will |
|00000780| 62 65 20 67 6c 61 64 20 | 74 6f 20 68 65 61 72 20 |be glad |to hear |
|00000790| 74 68 61 74 20 79 6f 75 | 20 77 69 6c 6c 2c 20 69 |that you| will, i|
|000007a0| 6e 64 65 65 64 2c 20 62 | 65 20 6c 65 61 72 6e 69 |ndeed, b|e learni|
|000007b0| 6e 67 20 61 62 6f 75 74 | 20 6d 6f 72 65 20 61 64 |ng about| more ad|
|000007c0| 76 61 6e 63 65 64 20 73 | 6f 6c 75 74 69 6f 6e 20 |vanced s|olution |
|000007d0| 6d 65 74 68 6f 64 73 20 | 74 68 69 73 20 73 65 6d |methods |this sem|
|000007e0| 65 73 74 65 72 2e 0a 0a | 3c 50 3e 0a 3c 2f 4c 49 |ester...|<P>.</LI|
|000007f0| 3e 0a 3c 4c 49 3e 28 31 | 2e 32 2e 32 34 29 20 46 |>.<LI>(1|.2.24) F|
|00000800| 69 6e 64 20 74 68 65 20 | 70 65 72 70 65 6e 64 69 |ind the |perpendi|
|00000810| 63 75 6c 61 72 20 64 69 | 73 74 61 6e 63 65 20 66 |cular di|stance f|
|00000820| 72 6f 6d 20 74 68 65 20 | 70 6f 69 6e 74 20 28 32 |rom the |point (2|
|00000830| 2c 20 31 29 20 74 6f 20 | 74 68 65 20 6c 69 6e 65 |, 1) to |the line|
|00000840| 20 77 69 74 68 20 65 71 | 75 61 74 69 6f 6e 20 3c | with eq|uation <|
|00000850| 49 3e 79 3c 2f 49 3e 20 | 3d 20 3c 49 3e 78 3c 2f |I>y</I> |= <I>x</|
|00000860| 49 3e 20 2b 20 31 2e 0a | 0a 3c 50 3e 0a 3c 2f 4c |I> + 1..|.<P>.</L|
|00000870| 49 3e 0a 3c 4c 49 3e 41 | 20 60 60 77 65 6c 6c 2d |I>.<LI>A| ``well-|
|00000880| 6b 6e 6f 77 6e 27 27 20 | 66 6f 72 6d 75 6c 61 20 |known'' |formula |
|00000890| 66 72 6f 6d 20 63 6f 6d | 70 75 74 61 74 69 6f 6e |from com|putation|
|000008a0| 61 6c 20 67 65 6f 6d 65 | 74 72 79 20 67 69 76 65 |al geome|try give|
|000008b0| 73 20 74 68 65 20 70 65 | 72 70 65 6e 64 69 63 75 |s the pe|rpendicu|
|000008c0| 6c 61 72 20 64 69 73 74 | 61 6e 63 65 20 3c 49 3e |lar dist|ance <I>|
|000008d0| 64 3c 2f 49 3e 20 66 72 | 6f 6d 20 61 6e 20 61 72 |d</I> fr|om an ar|
|000008e0| 62 69 74 72 61 72 79 20 | 70 6f 69 6e 74 20 3c 21 |bitrary |point <!|
|000008f0| 2d 2d 20 4d 41 54 48 0a | 20 24 50 30 3a 28 78 5f |-- MATH.| $P0:(x_|
|00000900| 30 2c 20 79 5f 30 29 24 | 0a 20 2d 2d 3e 0a 3c 49 |0, y_0)$|. -->.<I|
|00000910| 3e 50 3c 2f 49 3e 30 20 | 3a 20 28 3c 49 3e 78 3c |>P</I>0 |: (<I>x<|
|00000920| 2f 49 3e 3c 53 55 42 3e | 30 3c 2f 53 55 42 3e 2c |/I><SUB>|0</SUB>,|
|00000930| 20 3c 49 3e 79 3c 2f 49 | 3e 3c 53 55 42 3e 30 3c | <I>y</I|><SUB>0<|
|00000940| 2f 53 55 42 3e 29 20 74 | 6f 20 61 6e 20 61 72 62 |/SUB>) t|o an arb|
|00000950| 69 74 72 61 72 79 20 6c | 69 6e 65 20 3c 21 2d 2d |itrary l|ine <!--|
|00000960| 20 4d 41 54 48 0a 20 24 | 4c 3a 20 41 78 20 2b 20 | MATH. $|L: Ax + |
|00000970| 42 79 20 3d 20 43 24 0a | 20 2d 2d 3e 0a 3c 49 3e |By = C$.| -->.<I>|
|00000980| 4c 3c 2f 49 3e 20 3a 20 | 3c 49 3e 41 78 3c 2f 49 |L</I> : |<I>Ax</I|
|00000990| 3e 20 2b 20 3c 49 3e 42 | 79 3c 2f 49 3e 20 3d 20 |> + <I>B|y</I> = |
|000009a0| 3c 49 3e 43 3c 2f 49 3e | 20 61 73 20 3c 50 3e 3c |<I>C</I>| as <P><|
|000009b0| 21 2d 2d 20 4d 41 54 48 | 0a 20 5c 62 65 67 69 6e |!-- MATH|. \begin|
|000009c0| 7b 64 69 73 70 6c 61 79 | 6d 61 74 68 7d 0a 64 20 |{display|math}.d |
|000009d0| 3d 20 5c 66 72 61 63 7b | 7c 41 78 5f 30 20 2b 20 |= \frac{||Ax_0 + |
|000009e0| 42 79 5f 30 20 2d 20 43 | 7c 7d 7b 5c 73 71 72 74 |By_0 - C||}{\sqrt|
|000009f0| 7b 41 5e 32 20 2b 20 42 | 5e 32 7d 7d 2e 0a 5c 65 |{A^2 + B|^2}}..\e|
|00000a00| 6e 64 7b 64 69 73 70 6c | 61 79 6d 61 74 68 7d 0a |nd{displ|aymath}.|
|00000a10| 20 2d 2d 3e 0a 3c 2f 50 | 3e 0a 3c 44 49 56 20 41 | -->.</P|>.<DIV A|
|00000a20| 4c 49 47 4e 3d 22 43 45 | 4e 54 45 52 22 3e 0a 3c |LIGN="CE|NTER">.<|
|00000a30| 49 3e 64 3c 2f 49 3e 20 | 3d 20 3c 49 4d 47 0a 20 |I>d</I> |= <IMG. |
|00000a40| 53 54 59 4c 45 3d 22 68 | 65 69 67 68 74 3a 20 32 |STYLE="h|eight: 2|
|00000a50| 2e 31 31 65 78 3b 20 76 | 65 72 74 69 63 61 6c 2d |.11ex; v|ertical-|
|00000a60| 61 6c 69 67 6e 3a 20 31 | 35 39 2e 35 31 65 78 3b |align: 1|59.51ex;|
|00000a70| 20 22 20 53 52 43 3d 22 | 69 6d 67 31 2e 70 6e 67 | " SRC="|img1.png|
|00000a80| 22 0a 20 41 4c 54 3d 22 | 24 5c 64 69 73 70 6c 61 |". ALT="|$\displa|
|00000a90| 79 73 74 79 6c 65 20 7b | 5c 66 72 61 63 7b 7b 5c |ystyle {|\frac{{\|
|00000aa0| 76 65 72 74 20 41 78 5f | 30 20 2b 20 42 79 5f 30 |vert Ax_|0 + By_0|
|00000ab0| 20 2d 20 43 5c 76 65 72 | 74 7d 7d 7b 7b 5c 73 71 | - C\ver|t}}{{\sq|
|00000ac0| 72 74 7b 41 5e 32 20 2b | 20 42 5e 32 7d 7d 7d 7d |rt{A^2 +| B^2}}}}|
|00000ad0| 24 22 3e 2e 0a 3c 2f 44 | 49 56 3e 3c 50 3e 3c 2f |$">..</D|IV><P></|
|00000ae0| 50 3e 0a 55 73 65 20 74 | 68 69 73 20 66 6f 72 6d |P>.Use t|his form|
|00000af0| 75 6c 61 20 74 6f 20 63 | 68 65 63 6b 20 79 6f 75 |ula to c|heck you|
|00000b00| 72 20 61 6e 73 77 65 72 | 20 66 6f 72 20 74 68 65 |r answer| for the|
|00000b10| 20 70 72 65 76 69 6f 75 | 73 20 70 72 6f 62 6c 65 | previou|s proble|
|00000b20| 6d 2e 0a 0a 3c 50 3e 0a | 3c 2f 4c 49 3e 0a 3c 4c |m...<P>.|</LI>.<L|
|00000b30| 49 3e 48 6f 6e 6f 72 20 | 50 72 6f 62 6c 65 6d 3a |I>Honor |Problem:|
|00000b40| 20 20 59 6f 75 20 6b 6e | 6f 77 20 65 76 65 72 79 |  You kn|ow every|
|00000b50| 74 68 69 6e 67 20 6e 65 | 65 64 65 64 20 74 6f 20 |thing ne|eded to |
|00000b60| 64 65 72 69 76 65 20 74 | 68 65 20 66 6f 72 6d 75 |derive t|he formu|
|00000b70| 6c 61 20 63 69 74 65 64 | 20 69 6e 20 74 68 65 20 |la cited| in the |
|00000b80| 70 72 65 76 69 6f 75 73 | 20 70 72 6f 62 6c 65 6d |previous| problem|
|00000b90| 2e 20 20 48 6f 77 65 76 | 65 72 2c 20 69 74 27 73 |.  Howev|er, it's|
|00000ba0| 20 61 20 6e 61 73 74 79 | 20 63 6f 6d 70 75 74 61 | a nasty| computa|
|00000bb0| 74 69 6f 6e 20 62 79 20 | 68 61 6e 64 2e 20 20 53 |tion by |hand.  S|
|00000bc0| 6f 6c 75 74 69 6f 6e 73 | 20 61 63 63 65 70 74 65 |olutions| accepte|
|00000bd0| 64 20 66 6f 72 20 74 68 | 65 20 6e 65 78 74 20 74 |d for th|e next t|
|00000be0| 77 6f 20 77 65 65 6b 73 | 26 6d 64 61 73 68 3b 61 |wo weeks|&mdash;a|
|00000bf0| 20 70 72 69 7a 65 20 74 | 6f 20 74 68 65 20 6f 6e | prize t|o the on|
|00000c00| 65 20 77 69 74 68 20 74 | 68 65 20 6e 69 63 65 73 |e with t|he nices|
|00000c10| 74 20 70 72 6f 6f 66 21 | 0a 0a 3c 50 3e 0a 3c 2f |t proof!|..<P>.</|
|00000c20| 4c 49 3e 0a 3c 4c 49 3e | 28 31 2e 32 2e 32 35 29 |LI>.<LI>|(1.2.25)|
|00000c30| 20 46 69 6e 64 20 74 68 | 65 20 70 65 72 70 65 6e | Find th|e perpen|
|00000c40| 64 69 63 75 6c 61 72 20 | 64 69 73 74 61 6e 63 65 |dicular |distance|
|00000c50| 20 62 65 74 77 65 65 6e | 20 74 68 65 20 70 61 72 | between| the par|
|00000c60| 61 6c 6c 65 6c 20 6c 69 | 6e 65 73 20 3c 21 2d 2d |allel li|nes <!--|
|00000c70| 20 4d 41 54 48 0a 20 24 | 79 20 3d 20 35 78 20 2b | MATH. $|y = 5x +|
|00000c80| 20 31 24 0a 20 2d 2d 3e | 0a 3c 49 3e 79 3c 2f 49 | 1$. -->|.<I>y</I|
|00000c90| 3e 20 3d 20 35 3c 49 3e | 78 3c 2f 49 3e 20 2b 20 |> = 5<I>|x</I> + |
|00000ca0| 31 20 61 6e 64 20 3c 21 | 2d 2d 20 4d 41 54 48 0a |1 and <!|-- MATH.|
|00000cb0| 20 24 79 20 3d 20 35 78 | 20 2b 20 39 24 0a 20 2d | $y = 5x| + 9$. -|
|00000cc0| 2d 3e 0a 3c 49 3e 79 3c | 2f 49 3e 20 3d 20 35 3c |->.<I>y<|/I> = 5<|
|00000cd0| 49 3e 78 3c 2f 49 3e 20 | 2b 20 39 2e 0a 0a 3c 50 |I>x</I> |+ 9...<P|
|00000ce0| 3e 0a 3c 2f 4c 49 3e 0a | 3c 4c 49 3e 41 6e 6f 74 |>.</LI>.|<LI>Anot|
|00000cf0| 68 65 72 20 60 60 77 65 | 6c 6c 2d 6b 6e 6f 77 6e |her ``we|ll-known|
|00000d00| 27 27 20 66 6f 72 6d 75 | 6c 61 20 66 72 6f 6d 20 |'' formu|la from |
|00000d10| 63 6f 6d 70 75 74 61 74 | 69 6f 6e 61 6c 20 67 65 |computat|ional ge|
|00000d20| 6f 6d 65 74 72 79 20 67 | 69 76 65 73 20 74 68 65 |ometry g|ives the|
|00000d30| 20 70 65 72 70 65 6e 64 | 69 63 75 6c 61 72 20 64 | perpend|icular d|
|00000d40| 69 73 74 61 6e 63 65 20 | 62 65 74 77 65 65 6e 20 |istance |between |
|00000d50| 74 68 65 20 70 61 72 61 | 6c 6c 65 6c 20 6c 69 6e |the para|llel lin|
|00000d60| 65 73 20 3c 21 2d 2d 20 | 4d 41 54 48 0a 20 24 4c |es <!-- |MATH. $L|
|00000d70| 5f 31 3a 20 41 78 20 2b | 20 42 79 20 3d 20 43 5f |_1: Ax +| By = C_|
|00000d80| 31 24 0a 20 2d 2d 3e 0a | 3c 49 3e 4c 3c 2f 49 3e |1$. -->.|<I>L</I>|
|00000d90| 3c 53 55 42 3e 31 3c 2f | 53 55 42 3e 20 3a 20 3c |<SUB>1</|SUB> : <|
|00000da0| 49 3e 41 78 3c 2f 49 3e | 20 2b 20 3c 49 3e 42 79 |I>Ax</I>| + <I>By|
|00000db0| 3c 2f 49 3e 20 3d 20 3c | 49 3e 43 3c 2f 49 3e 3c |</I> = <|I>C</I><|
|00000dc0| 53 55 42 3e 31 3c 2f 53 | 55 42 3e 20 61 6e 64 20 |SUB>1</S|UB> and |
|00000dd0| 3c 21 2d 2d 20 4d 41 54 | 48 0a 20 24 4c 5f 32 3a |<!-- MAT|H. $L_2:|
|00000de0| 20 41 78 20 2b 20 42 79 | 20 3d 20 43 5f 32 24 0a | Ax + By| = C_2$.|
|00000df0| 20 2d 2d 3e 0a 3c 49 3e | 4c 3c 2f 49 3e 3c 53 55 | -->.<I>|L</I><SU|
|00000e00| 42 3e 32 3c 2f 53 55 42 | 3e 20 3a 20 3c 49 3e 41 |B>2</SUB|> : <I>A|
|00000e10| 78 3c 2f 49 3e 20 2b 20 | 3c 49 3e 42 79 3c 2f 49 |x</I> + |<I>By</I|
|00000e20| 3e 20 3d 20 3c 49 3e 43 | 3c 2f 49 3e 3c 53 55 42 |> = <I>C|</I><SUB|
|00000e30| 3e 32 3c 2f 53 55 42 3e | 20 61 73 20 3c 50 3e 3c |>2</SUB>| as <P><|
|00000e40| 21 2d 2d 20 4d 41 54 48 | 0a 20 5c 62 65 67 69 6e |!-- MATH|. \begin|
|00000e50| 7b 64 69 73 70 6c 61 79 | 6d 61 74 68 7d 0a 64 20 |{display|math}.d |
|00000e60| 3d 20 5c 66 72 61 63 7b | 7c 43 5f 32 20 2d 20 43 |= \frac{||C_2 - C|
|00000e70| 5f 31 7c 7d 7b 5c 73 71 | 72 74 7b 41 5e 32 20 2b |_1|}{\sq|rt{A^2 +|
|00000e80| 20 42 5e 32 7d 7d 2e 0a | 5c 65 6e 64 7b 64 69 73 | B^2}}..|\end{dis|
|00000e90| 70 6c 61 79 6d 61 74 68 | 7d 0a 20 2d 2d 3e 0a 3c |playmath|}. -->.<|
|00000ea0| 2f 50 3e 0a 3c 44 49 56 | 20 41 4c 49 47 4e 3d 22 |/P>.<DIV| ALIGN="|
|00000eb0| 43 45 4e 54 45 52 22 3e | 0a 3c 49 3e 64 3c 2f 49 |CENTER">|.<I>d</I|
|00000ec0| 3e 20 3d 20 3c 49 4d 47 | 0a 20 53 54 59 4c 45 3d |> = <IMG|. STYLE=|
|00000ed0| 22 68 65 69 67 68 74 3a | 20 35 2e 34 39 65 78 3b |"height:| 5.49ex;|
|00000ee0| 20 76 65 72 74 69 63 61 | 6c 2d 61 6c 69 67 6e 3a | vertica|l-align:|
|00000ef0| 20 31 35 36 2e 31 32 65 | 78 3b 20 22 20 53 52 43 | 156.12e|x; " SRC|
|00000f00| 3d 22 69 6d 67 32 2e 70 | 6e 67 22 0a 20 41 4c 54 |="img2.p|ng". ALT|
|00000f10| 3d 22 24 5c 64 69 73 70 | 6c 61 79 73 74 79 6c 65 |="$\disp|laystyle|
|00000f20| 20 7b 5c 66 72 61 63 7b | 7b 5c 76 65 72 74 20 43 | {\frac{|{\vert C|
|00000f30| 5f 32 20 2d 20 43 5f 31 | 5c 76 65 72 74 7d 7d 7b |_2 - C_1|\vert}}{|
|00000f40| 7b 5c 73 71 72 74 7b 41 | 5e 32 20 2b 20 42 5e 32 |{\sqrt{A|^2 + B^2|
|00000f50| 7d 7d 7d 7d 24 22 3e 2e | 0a 3c 2f 44 49 56 3e 3c |}}}}$">.|.</DIV><|
|00000f60| 50 3e 3c 2f 50 3e 20 0a | 20 20 20 20 20 20 20 20 |P></P> .|        |
|00000f70| 0a 3c 4f 4c 3e 0a 3c 4c | 49 3e 55 73 65 20 74 68 |.<OL>.<L|I>Use th|
|00000f80| 69 73 20 66 6f 72 6d 75 | 6c 61 20 74 6f 20 63 68 |is formu|la to ch|
|00000f90| 65 63 6b 20 79 6f 75 72 | 20 61 6e 73 77 65 72 20 |eck your| answer |
|00000fa0| 66 6f 72 20 74 68 65 20 | 70 72 65 76 69 6f 75 73 |for the |previous|
|00000fb0| 20 70 72 6f 62 6c 65 6d | 2e 0a 3c 2f 4c 49 3e 0a | problem|..</LI>.|
|00000fc0| 3c 4c 49 3e 45 78 70 6c | 61 69 6e 20 77 68 79 20 |<LI>Expl|ain why |
|00000fd0| 74 68 65 20 66 6f 72 6d | 75 6c 61 73 20 67 69 76 |the form|ulas giv|
|00000fe0| 65 6e 20 66 6f 72 20 3c | 49 3e 4c 3c 2f 49 3e 3c |en for <|I>L</I><|
|00000ff0| 53 55 42 3e 31 3c 2f 53 | 55 42 3e 20 61 6e 64 20 |SUB>1</S|UB> and |
|00001000| 3c 49 3e 4c 3c 2f 49 3e | 3c 53 55 42 3e 32 3c 2f |<I>L</I>|<SUB>2</|
|00001010| 53 55 42 3e 20 61 63 63 | 75 72 61 74 65 6c 79 20 |SUB> acc|urately |
|00001020| 63 68 61 72 61 63 74 65 | 72 69 7a 65 20 61 6e 20 |characte|rize an |
|00001030| 61 72 62 69 74 72 61 72 | 79 20 70 61 69 72 20 6f |arbitrar|y pair o|
|00001040| 66 20 70 61 72 61 6c 6c | 65 6c 20 6c 69 6e 65 73 |f parall|el lines|
|00001050| 20 28 65 2e 67 2e 2c 20 | 77 68 79 20 6e 6f 74 20 | (e.g., |why not |
|00001060| 77 72 69 74 65 20 74 68 | 65 6d 20 61 73 20 3c 21 |write th|em as <!|
|00001070| 2d 2d 20 4d 41 54 48 0a | 20 24 79 20 3d 20 6d 78 |-- MATH.| $y = mx|
|00001080| 20 2b 62 5f 31 2c 20 79 | 20 3d 20 6d 78 20 2b 62 | +b_1, y| = mx +b|
|00001090| 5f 32 24 0a 20 2d 2d 3e | 0a 3c 49 3e 79 3c 2f 49 |_2$. -->|.<I>y</I|
|000010a0| 3e 20 3d 20 3c 49 3e 6d | 78 3c 2f 49 3e 20 2b 20 |> = <I>m|x</I> + |
|000010b0| 3c 49 3e 62 3c 2f 49 3e | 3c 53 55 42 3e 31 3c 2f |<I>b</I>|<SUB>1</|
|000010c0| 53 55 42 3e 2c 20 3c 49 | 3e 79 3c 2f 49 3e 20 3d |SUB>, <I|>y</I> =|
|000010d0| 20 3c 49 3e 6d 78 3c 2f | 49 3e 20 2b 20 3c 49 3e | <I>mx</|I> + <I>|
|000010e0| 62 3c 2f 49 3e 3c 53 55 | 42 3e 32 3c 2f 53 55 42 |b</I><SU|B>2</SUB|
|000010f0| 3e 3f 29 2e 0a 20 20 20 | 20 20 20 20 20 0a 3c 2f |>?)..   |     .</|
|00001100| 4c 49 3e 0a 3c 2f 4f 4c | 3e 0a 0a 3c 50 3e 0a 3c |LI>.</OL|>..<P>.<|
|00001110| 2f 4c 49 3e 0a 3c 4c 49 | 3e 49 6e 20 61 6e 61 6c |/LI>.<LI|>In anal|
|00001120| 6f 67 79 20 77 69 74 68 | 20 74 68 65 20 75 73 61 |ogy with| the usa|
|00001130| 67 65 20 69 6e 20 74 68 | 65 20 67 65 6f 6d 65 74 |ge in th|e geomet|
|00001140| 72 79 20 6f 66 20 61 20 | 63 69 72 63 6c 65 2c 20 |ry of a |circle, |
|00001150| 61 20 73 65 63 61 6e 74 | 20 6c 69 6e 65 20 74 6f |a secant| line to|
|00001160| 20 61 6e 20 61 72 62 69 | 74 72 61 72 79 20 63 75 | an arbi|trary cu|
|00001170| 72 76 65 20 20 69 73 20 | 64 65 66 69 6e 65 64 20 |rve  is |defined |
|00001180| 61 73 20 61 20 6c 69 6e | 65 20 74 68 61 74 20 69 |as a lin|e that i|
|00001190| 6e 74 65 72 73 65 63 74 | 73 20 74 68 65 20 63 75 |ntersect|s the cu|
|000011a0| 72 76 65 20 69 6e 20 74 | 77 6f 20 28 6f 72 20 6d |rve in t|wo (or m|
|000011b0| 6f 72 65 29 20 70 6f 69 | 6e 74 73 2e 20 43 6f 6e |ore) poi|nts. Con|
|000011c0| 73 69 64 65 72 20 74 68 | 65 20 63 75 72 76 65 20 |sider th|e curve |
|000011d0| 3c 49 3e 79 3c 2f 49 3e | 20 3d 20 3c 49 3e 78 3c |<I>y</I>| = <I>x<|
|000011e0| 2f 49 3e 3c 53 55 50 3e | 32 3c 2f 53 55 50 3e 20 |/I><SUP>|2</SUP> |
|000011f0| 61 6e 64 20 74 77 6f 20 | 70 6f 69 6e 74 73 20 6f |and two |points o|
|00001200| 6e 20 69 74 2c 20 73 61 | 79 20 3c 21 2d 2d 20 4d |n it, sa|y <!-- M|
|00001210| 41 54 48 0a 20 24 50 5f | 31 28 78 5f 31 2c 20 79 |ATH. $P_|1(x_1, y|
|00001220| 5f 31 29 24 0a 20 2d 2d | 3e 0a 3c 49 3e 50 3c 2f |_1)$. --|>.<I>P</|
|00001230| 49 3e 3c 53 55 42 3e 31 | 3c 2f 53 55 42 3e 28 3c |I><SUB>1|</SUB>(<|
|00001240| 49 3e 78 3c 2f 49 3e 3c | 53 55 42 3e 31 3c 2f 53 |I>x</I><|SUB>1</S|
|00001250| 55 42 3e 2c 20 3c 49 3e | 79 3c 2f 49 3e 3c 53 55 |UB>, <I>|y</I><SU|
|00001260| 42 3e 31 3c 2f 53 55 42 | 3e 29 20 61 6e 64 20 3c |B>1</SUB|>) and <|
|00001270| 21 2d 2d 20 4d 41 54 48 | 0a 20 24 50 5f 32 28 78 |!-- MATH|. $P_2(x|
|00001280| 5f 32 2c 20 79 5f 32 29 | 24 0a 20 2d 2d 3e 0a 3c |_2, y_2)|$. -->.<|
|00001290| 49 3e 50 3c 2f 49 3e 3c | 53 55 42 3e 32 3c 2f 53 |I>P</I><|SUB>2</S|
|000012a0| 55 42 3e 28 3c 49 3e 78 | 3c 2f 49 3e 3c 53 55 42 |UB>(<I>x|</I><SUB|
|000012b0| 3e 32 3c 2f 53 55 42 3e | 2c 20 3c 49 3e 79 3c 2f |>2</SUB>|, <I>y</|
|000012c0| 49 3e 3c 53 55 42 3e 32 | 3c 2f 53 55 42 3e 29 2e |I><SUB>2|</SUB>).|
|000012d0| 0a 20 20 20 20 20 20 20 | 20 0a 3c 4f 4c 3e 0a 3c |.       | .<OL>.<|
|000012e0| 4c 49 3e 57 68 65 6e 20 | 3c 49 3e 78 3c 2f 49 3e |LI>When |<I>x</I>|
|000012f0| 3c 53 55 42 3e 31 3c 2f | 53 55 42 3e 20 3d 20 31 |<SUB>1</|SUB> = 1|
|00001300| 20 61 6e 64 20 3c 49 3e | 78 3c 2f 49 3e 3c 53 55 | and <I>|x</I><SU|
|00001310| 42 3e 32 3c 2f 53 55 42 | 3e 20 3d 20 32 2c 20 66 |B>2</SUB|> = 2, f|
|00001320| 69 6e 64 20 74 68 65 20 | 73 65 63 61 6e 74 20 6c |ind the |secant l|
|00001330| 69 6e 65 20 74 68 61 74 | 20 70 61 73 73 65 73 20 |ine that| passes |
|00001340| 74 68 72 6f 75 67 68 20 | 3c 49 3e 50 3c 2f 49 3e |through |<I>P</I>|
|00001350| 3c 53 55 42 3e 31 3c 2f | 53 55 42 3e 20 61 6e 64 |<SUB>1</|SUB> and|
|00001360| 20 3c 49 3e 50 3c 2f 49 | 3e 3c 53 55 42 3e 32 3c | <I>P</I|><SUB>2<|
|00001370| 2f 53 55 42 3e 2e 0a 0a | 3c 50 3e 0a 3c 2f 4c 49 |/SUB>...|<P>.</LI|
|00001380| 3e 0a 3c 4c 49 3e 52 65 | 70 65 61 74 20 66 6f 72 |>.<LI>Re|peat for|
|00001390| 20 3c 49 3e 78 3c 2f 49 | 3e 3c 53 55 42 3e 31 3c | <I>x</I|><SUB>1<|
|000013a0| 2f 53 55 42 3e 20 3d 20 | 31 20 61 6e 64 20 3c 49 |/SUB> = |1 and <I|
|000013b0| 3e 78 3c 2f 49 3e 3c 53 | 55 42 3e 32 3c 2f 53 55 |>x</I><S|UB>2</SU|
|000013c0| 42 3e 20 3d 20 31 2e 31 | 2e 0a 0a 3c 50 3e 0a 3c |B> = 1.1|...<P>.<|
|000013d0| 2f 4c 49 3e 0a 3c 4c 49 | 3e 52 65 70 65 61 74 20 |/LI>.<LI|>Repeat |
|000013e0| 66 6f 72 20 3c 49 3e 78 | 3c 2f 49 3e 3c 53 55 42 |for <I>x|</I><SUB|
|000013f0| 3e 31 3c 2f 53 55 42 3e | 20 3d 20 31 20 61 6e 64 |>1</SUB>| = 1 and|
|00001400| 20 3c 21 2d 2d 20 4d 41 | 54 48 0a 20 24 78 5f 32 | <!-- MA|TH. $x_2|
|00001410| 20 3d 20 31 2e 30 31 24 | 0a 20 2d 2d 3e 0a 3c 49 | = 1.01$|. -->.<I|
|00001420| 3e 78 3c 2f 49 3e 3c 53 | 55 42 3e 32 3c 2f 53 55 |>x</I><S|UB>2</SU|
|00001430| 42 3e 20 3d 20 31 2e 30 | 31 2e 0a 0a 3c 50 3e 0a |B> = 1.0|1...<P>.|
|00001440| 3c 2f 4c 49 3e 0a 3c 4c | 49 3e 4d 61 6b 65 20 61 |</LI>.<L|I>Make a|
|00001450| 6e 20 69 6e 74 75 69 74 | 69 76 65 20 65 73 74 69 |n intuit|ive esti|
|00001460| 6d 61 74 65 20 66 6f 72 | 20 74 68 65 20 73 6c 6f |mate for| the slo|
|00001470| 70 65 20 6f 66 20 74 68 | 65 20 74 61 6e 67 65 6e |pe of th|e tangen|
|00001480| 74 20 6c 69 6e 65 20 74 | 6f 20 3c 49 3e 79 3c 2f |t line t|o <I>y</|
|00001490| 49 3e 20 3d 20 3c 49 3e | 78 3c 2f 49 3e 3c 53 55 |I> = <I>|x</I><SU|
|000014a0| 50 3e 32 3c 2f 53 55 50 | 3e 20 61 74 20 3c 49 3e |P>2</SUP|> at <I>|
|000014b0| 78 3c 2f 49 3e 20 3d 20 | 31 2e 20 20 55 73 65 20 |x</I> = |1.  Use |
|000014c0| 79 6f 75 72 20 65 73 74 | 69 6d 61 74 65 20 74 6f |your est|imate to|
|000014d0| 20 77 72 69 74 65 20 61 | 20 66 6f 72 6d 75 6c 61 | write a| formula|
|000014e0| 20 66 6f 72 20 74 68 65 | 20 74 61 6e 67 65 6e 74 | for the| tangent|
|000014f0| 20 6c 69 6e 65 20 61 74 | 20 3c 49 3e 78 3c 2f 49 | line at| <I>x</I|
|00001500| 3e 20 3d 20 31 2e 0a 0a | 3c 50 3e 0a 3c 2f 4c 49 |> = 1...|<P>.</LI|
|00001510| 3e 0a 3c 4c 49 3e 47 72 | 61 70 68 20 3c 49 3e 79 |>.<LI>Gr|aph <I>y|
|00001520| 3c 2f 49 3e 20 3d 20 3c | 49 3e 78 3c 2f 49 3e 3c |</I> = <|I>x</I><|
|00001530| 53 55 50 3e 32 3c 2f 53 | 55 50 3e 20 69 6e 20 61 |SUP>2</S|UP> in a|
|00001540| 20 73 6d 61 6c 6c 20 72 | 65 67 69 6f 6e 20 6e 65 | small r|egion ne|
|00001550| 61 72 20 3c 49 3e 78 3c | 2f 49 3e 20 3d 20 31 20 |ar <I>x<|/I> = 1 |
|00001560| 28 69 2e 65 2e 2c 20 60 | 60 7a 6f 6f 6d 20 69 6e |(i.e., `|`zoom in|
|00001570| 27 27 29 20 61 6e 64 20 | 76 65 72 69 66 79 20 79 |'') and |verify y|
|00001580| 6f 75 72 20 74 61 6e 67 | 65 6e 74 20 73 6c 6f 70 |our tang|ent slop|
|00001590| 65 20 65 73 74 69 6d 61 | 74 65 20 28 6c 6f 6f 6b |e estima|te (look|
|000015a0| 20 6f 75 74 20 66 6f 72 | 20 70 6f 73 73 69 62 6c | out for| possibl|
|000015b0| 79 20 64 69 66 66 65 72 | 65 6e 74 20 73 63 61 6c |y differ|ent scal|
|000015c0| 65 73 20 6f 6e 20 74 68 | 65 20 74 77 6f 20 61 78 |es on th|e two ax|
|000015d0| 65 73 29 2e 0a 0a 3c 50 | 3e 0a 3c 2f 4c 49 3e 0a |es)...<P|>.</LI>.|
|000015e0| 3c 4c 49 3e 4e 6f 74 69 | 63 65 20 74 68 61 74 20 |<LI>Noti|ce that |
|000015f0| 74 68 65 20 70 68 72 61 | 73 65 20 74 61 6e 67 65 |the phra|se tange|
|00001600| 6e 74 20 6c 69 6e 65 20 | 68 61 73 6e 27 74 20 62 |nt line |hasn't b|
|00001610| 65 65 6e 20 67 69 76 65 | 6e 20 61 20 64 65 66 69 |een give|n a defi|
|00001620| 6e 69 74 69 6f 6e 20 69 | 6e 20 70 61 72 74 20 28 |nition i|n part (|
|00001630| 64 29 20 61 62 6f 76 65 | 2e 20 20 57 6f 75 6c 64 |d) above|.  Would|
|00001640| 20 79 6f 75 20 63 61 72 | 65 20 74 6f 20 66 69 6c | you car|e to fil|
|00001650| 6c 20 74 68 61 74 20 67 | 61 70 3f 20 20 42 65 20 |l that g|ap?  Be |
|00001660| 73 75 72 65 20 74 6f 20 | 74 68 69 6e 6b 20 61 62 |sure to |think ab|
|00001670| 6f 75 74 20 73 69 74 75 | 61 74 69 6f 6e 73 20 6c |out situ|ations l|
|00001680| 69 6b 65 20 74 68 61 74 | 20 73 68 6f 77 6e 20 69 |ike that| shown i|
|00001690| 6e 20 46 69 67 75 72 65 | 20 31 26 6d 64 61 73 68 |n Figure| 1&mdash|
|000016a0| 3b 77 65 20 64 6f 20 77 | 61 6e 74 20 74 6f 20 64 |;we do w|ant to d|
|000016b0| 65 66 69 6e 65 20 74 68 | 65 20 73 74 72 61 69 67 |efine th|e straig|
|000016c0| 68 74 20 6c 69 6e 65 20 | 61 73 20 62 65 69 6e 67 |ht line |as being|
|000016d0| 20 61 20 74 61 6e 67 65 | 6e 74 20 6c 69 6e 65 20 | a tange|nt line |
|000016e0| 28 61 74 20 3c 21 2d 2d | 20 4d 41 54 48 0a 20 24 |(at <!--| MATH. $|
|000016f0| 78 20 5c 61 70 70 72 6f | 78 20 30 2e 32 24 0a 20 |x \appro|x 0.2$. |
|00001700| 2d 2d 3e 0a 3c 49 3e 78 | 3c 2f 49 3e 20 3c 49 4d |-->.<I>x|</I> <IM|
|00001710| 47 0a 20 53 54 59 4c 45 | 3d 22 68 65 69 67 68 74 |G. STYLE|="height|
|00001720| 3a 20 35 2e 34 39 65 78 | 3b 20 76 65 72 74 69 63 |: 5.49ex|; vertic|
|00001730| 61 6c 2d 61 6c 69 67 6e | 3a 20 31 35 38 2e 32 35 |al-align|: 158.25|
|00001740| 65 78 3b 20 22 20 53 52 | 43 3d 22 69 6d 67 33 2e |ex; " SR|C="img3.|
|00001750| 70 6e 67 22 0a 20 41 4c | 54 3d 22 24 5c 61 70 70 |png". AL|T="$\app|
|00001760| 72 6f 78 24 22 3e 20 30 | 2e 32 29 2e 20 20 49 73 |rox$"> 0|.2).  Is|
|00001770| 20 74 68 69 73 20 6c 69 | 6e 65 20 61 6c 73 6f 20 | this li|ne also |
|00001780| 61 20 73 65 63 61 6e 74 | 20 6c 69 6e 65 3f 0a 20 |a secant| line?. |
|00001790| 20 20 20 20 20 20 20 0a | 3c 2f 4c 49 3e 0a 3c 2f |       .|</LI>.</|
|000017a0| 4f 4c 3e 20 0a 0a 3c 50 | 3e 0a 0a 3c 44 49 56 20 |OL> ..<P|>..<DIV |
|000017b0| 63 6c 61 73 73 3d 22 43 | 45 4e 54 45 52 22 3e 3c |class="C|ENTER"><|
|000017c0| 41 20 49 44 3d 22 33 31 | 22 3e 3c 2f 41 3e 0a 3c |A ID="31|"></A>.<|
|000017d0| 54 41 42 4c 45 3e 0a 3c | 43 41 50 54 49 4f 4e 20 |TABLE>.<|CAPTION |
|000017e0| 63 6c 61 73 73 3d 22 42 | 4f 54 54 4f 4d 22 3e 3c |class="B|OTTOM"><|
|000017f0| 53 54 52 4f 4e 47 3e 46 | 69 67 75 72 65 3a 3c 2f |STRONG>F|igure:</|
|00001800| 53 54 52 4f 4e 47 3e 0a | 43 75 72 76 65 20 61 6e |STRONG>.|Curve an|
|00001810| 64 20 61 20 74 61 6e 67 | 65 6e 74 20 6c 69 6e 65 |d a tang|ent line|
|00001820| 3c 2f 43 41 50 54 49 4f | 4e 3e 0a 3c 54 52 3e 3c |</CAPTIO|N>.<TR><|
|00001830| 54 44 3e 3c 49 4d 47 0a | 20 53 54 59 4c 45 3d 22 |TD><IMG.| STYLE="|
|00001840| 68 65 69 67 68 74 3a 20 | 32 38 36 2e 37 36 65 78 |height: |286.76ex|
|00001850| 3b 20 22 20 53 52 43 3d | 22 69 6d 67 34 2e 70 6e |; " SRC=|"img4.pn|
|00001860| 67 22 0a 20 41 4c 54 3d | 22 5c 62 65 67 69 6e 7b |g". ALT=|"\begin{|
|00001870| 66 69 67 75 72 65 7d 0a | 5c 65 70 73 66 79 73 69 |figure}.|\epsfysi|
|00001880| 7a 65 20 31 30 30 70 74 | 0a 5c 63 65 6e 74 65 72 |ze 100pt|.\center|
|00001890| 6c 69 6e 65 7b 5c 65 70 | 73 66 66 69 6c 65 7b 77 |line{\ep|sffile{w|
|000018a0| 73 34 70 36 2e 65 70 73 | 7d 7d 0a 5c 65 6e 64 7b |s4p6.eps|}}.\end{|
|000018b0| 66 69 67 75 72 65 7d 22 | 3e 3c 2f 54 44 3e 3c 2f |figure}"|></TD></|
|000018c0| 54 52 3e 0a 3c 2f 54 41 | 42 4c 45 3e 0a 3c 2f 44 |TR>.</TA|BLE>.</D|
|000018d0| 49 56 3e 0a 0a 3c 50 3e | 0a 3c 2f 4c 49 3e 0a 3c |IV>..<P>|.</LI>.<|
|000018e0| 2f 4f 4c 3e 0a 3c 48 52 | 3e 0a 0a 3c 2f 42 4f 44 |/OL>.<HR|>..</BOD|
|000018f0| 59 3e 0a 3c 2f 48 54 4d | 4c 3e 0a                |Y>.</HTM|L>.     |
+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+